1.    Una persona quiere comprar un terreno rectangular de 4m2.Hallar las dimensiones del rectángulo más conveniente para que la longitud del cercado sea la menor posible. SOLUCIÓN

2.    Entre los rectángulos de 4mts. de perímetro hallar el de diagonal mínima. SOLUCIÓN

3.    Entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 25 cm. Hallar los catetos del que tiene mayor área. SOLUCIÓN

4.    ¿Qué dimensiones debe tener un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad para que se utilice en su construcción la menor cantidad de material posible. SOLUCIÓN

5.    Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribir en un circunferencia de 10 cm. de radio. SOLUCIÓN

6.    Una persona quiere comprar un terreno rectangular de 4m2.Hallar las dimensiones del rectángulo más conveniente para que la longitud del cercado sea la menor posible. SOLUCIÓN

7.    Entre los rectángulos de 4mts. de perímetro hallar el de diagonal mínima. SOLUCIÓN

8.    Entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 25 cm. Hallar los catetos del que tiene mayor área. SOLUCIÓN

9.    ¿Qué dimensiones debe tener un bote cilíndrico de 1 litro de capacidad para que se utilice en su construcción la menor cantidad de material posible. SOLUCIÓN

10.           Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribir en un circunferencia de 10 cm. de radio. SOLUCIÓN

11.           Hallar el volumen del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de 3dm. de radio. SOLUCIÓN

12.           Se tiene un alambre de 1 mts. de longitud que se quiere dividir en dos trozos para construir con ellos una circunferencia y un cuadrado. Hallar la longitud de cada    trozo para que las sumas de las áreas del círculo y del cuadrado sea máxima. SOLUCIÓN

13.           De todos los triángulos isósceles de perímetro 18 mts. ¿Cuál es el de área máxima?. SOLUCIÓN

14.           Un depósito cerrado, en forma de prisma recto de base cuadrada, debe tener una capacidad de 125 litros. Cuáles deben de ser sus dimensiones para que la cantidad de material empleada en su construcción sea la menor posible. SOLUCIÓN

15.           Dos números no negativos suman 40.¿ Cuál es el mínimo valor que puede tomar la suma del cubo del primero más el triple del cuadrado del segundo, y cuánto valen los número en ese caso?. SOLUCIÓN

16.           En una fábrica se dispone de planchas de hojalata de forma cuadrada de 1 mt. de lado. Con cada plancha se quiere construir una caja cuadrada abierta por arriba. ¿ Qué longitud debe tener el lado del cuadrado que corte en cada vértice para que la caja construida tenga volumen máximo?. SOLUCIÓN

17.           Hallar un número positivo que sumado con su inverso dé una suma mínima. SOLUCIÓN

18.           Se quiere inscribir en una esfera de radio r un cono de volumen máximo. ¿ Cuál será la altura del cono?. SOLUCIÓN

19.           Calcular la altura que debe de tener un cilindro de revolución inscrito en una esfera de 6 mts. de diámetro para que su volumen sea máximo entre todos los inscritos en ella. SOLUCIÓN

20.           Hallar dos números positivos cuya suma sea mínima y tales que:
      a)    Su producto sea mínimo.
      b)    La suma de sus cuadrados sea mínima.
SOLUCIÓN

21.           Qué dimensiones debe de tener un rectángulo de área de 64cm2 para que su perímetro sea mínimo. SOLUCIÓN

22.           Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 18cm. Cuál es el de área máxima. SOLUCIÓN

23.           Tres números que están en progresión geométrica suman 1.Hallar los valores máximos y mínimos del producto de dichos números. SOLUCIÓN

24.           Calcular las dimensiones de un cilindro de un litro de capacidad, que se construye a partir de una chapa rectangular de 12 m2, para que su construcción sea con un mínimo coste. SOLUCIÓN

25.           De una lámina de cartón cuadrada de lado a, se debe cortar de cada esquina un cuadrado de lado x, de nodo que con el cartón resultante, se pueda construir una caja sin tapa. Determinar la longitud de x para que la capacidad de la caja sea máxima. Calcula el volumen de la caja resultante. SOLUCIÓN

26.           Hallar las dimensiones de una caja de base cuadrada y sin tapa cuya superficie sea de 300 cm2 y que tenga la mayor capacidad posible. SOLUCIÓN

27.           La base menor de un trapecio rectángulo mide 1 dm y el lado oblicuo 2 dm. Halla el ángulo que debe formar este lado con la base mayor para que el área del trapecio sea máxima. SOLUCIÓN

28.           Se tiene un alambre de 1 mt. de longitud. Se corta dicho alambre en dos trozos, construyéndose un cuadrado y un círculo respectivamente. Calcula la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas sea máxima. SOLUCIÓN

29.           Calcula la longitud de los lados de un terreno rectangular de 400 m2 de superficie, para que su diagonal sea mínima. SOLUCIÓN

30.           Calcula la longitud que deben de tener los lados de un triángulo isósceles de 24 cm de perímetro para que el área del triángulo sea máxima. SOLUCIÓN

31.           Calcula la longitud de los lados de un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio 4 m. para que su área sea máxima. SOLUCIÓN

32.           Calcular la longitud que deben de tener los lados de un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de 3 m. de altura y 2 m. de base para que su área sea máxima. SOLUCIÓN

33.           Hallar el radio de la base y la altura de un cono de generatriz 3 m. y volumen máximo. SOLUCIÓN

34.           De entre todos los conos de volumen igual a 18 m3 calcula el radio de la base y la altura, de aquel cuya generatriz sea mínima. SOLUCIÓN

35.           Un alambre de 1 m. de longitud, se divide en dos trozos y   con ellos se construye un círculo y un cuadrado respectivamente. Calcular la longitud de cada trozo para que la suma de sus áreas sea mínima. SOLUCIÓN

36.           Un sector circular tiene 4 m. de perímetro. Calcular el radio y la longitud en radianes para que el sector tenga un área mínima. SOLUCIÓN

37.           Calcular las dimensiones que debe tener un bote cilíndrico de hojalata cuyo volumen es de 8m3 si queremos que la hojalata empleada en su fabricación sea mínima. Considerando los casos:

                                                             i.      El bote tiene dos tapas

                                                           ii.      El bote solo tiene una tapa

                                                         iii.      El bote no tiene tapas SOLUCIÓN

 

38.           Calcular la longitud de una cuerda de la circunferencia de 2 m. de radio para que al girar 360º alrededor del diámetro paralelo a ella se engendre un cilindro de área máxima.

39.           Calcular las dimensiones de un cono inscrito en una esfera de radio R y altura H para que su volumen sea máximo. SOLUCIÓN

40.           El precio del diamante es proporcional al cuadrado de su     peso. Comprueba que partiendo el diamante pierde valor y calcula la partición que produce una depreciación máxima. SOLUCIÓN

41.           Las manecillas de un reloj miden 2 y 3 cm. Si se unen sus    extremos se forma un triángulo. Hallar el área del triángulo en función del tiempo y la hora, entre las 12 y las 12 y media, en la que esa área es máxima. SOLUCIÓN

42.           De todas las rectas que pasan por (1,4) averigua la que intercepta sobre los ejes de coordenadas dos segmentos tales que la suma de sus longitudes sea mínima. SOLUCIÓN

43.           Determina en qué punto de la función , la tangente a la misma forma un ángulo máximo con el eje OX.

44.           Con una cartulina rectangular de 20 cm de largo y 12 cm. de ancho, quiero conseguir una caja sin tapa, doblando y pegando sus caras. Para ello debo cortar los cuatro vértices un cuadrado de cada uno. Cual debe de ser la longitud del lado de esos cuadrados para que la capacidad de la caja sea máxima.

45.           Desde que punto de la banda de un campo de fútbol reglamentario es más probable marcar un gol.

46.           Un comerciante compra artículos de alta fidelidad por valor de 1.400 €. y sabe que con un precio de venta al público de 2.100 €. puede vender treinta en un año. Un estudio del mercado, le indica que por cada 20 €. que descuente del precio, podrá vender tres equipos más. Calcular el precio que optimice los beneficios netos.

47.           El capital depositado en un banco es proporcional a interés que paga el banco. El banco reinvierte sus pasivos obteniendo una rentabilidad del 8%. Calcular que interés debe de pagar el banco para optimizar sus beneficios netos.

48.           Descomponer el número 42 en dos partes tales que el producto de ambas sea máximo.

49.           Calcular las dimensiones de un campo rectangular de 2mts de perímetro de área máxima.

50.           Halla las dimensiones de un deposito cilíndrico de volumen 100 m3 abierto por la parte superior par que el material utilizado en su construcción sea el menor posible.

1.    Se dispone de 250 mts. De valla metálica y se quiere cercar dos campos, uno circular y otro cuadrado. ¿Qué dimensiones deben de tener ambos campos para que la superficie cerrada sea máxima?

2.    Si dispone de una longitud de 1000 mts de valla y se quieren cerrar dos terrenos, uno semicircular y el otro cuadrado. ¿Qué dimensiones tendremos que tomar para los dos campos para obtener la máxima área entre los dos?.

3.    Descomponer un número positivo en dos factores positivos cuya suma sea mínima.

4.    Disonemos de chapa metálica y deseamos construir un depósito abierto de base cuadrada y cuya capacidad sea de 864 litros. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones del depósito para que la cantidad de chapa empleada sea la mínima?.( x = 12dm, h = 6 dm)

5.    Para qué valor de la altura, es máximo el volumen de un cono inscrito en una esfera de 15 cm de radio. ( h = 20cm)

6.    Descomponer el número 44 en dos sumandos, tales que el quíntuplo del cuadrado del primero, más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo. (24, 20).

7.    La fórmula que da el alcance de un cañón , siendo v la velocidad de salida del proyectil, g la aceleración gravitatoria y a la inclinación del cañón. ¿Cuál será el alcance máximo del cañón que comunica al proyectil una velocidad de 500m/seg. Y con que inclinación lo deberá de hacer para conseguirlo.

8.    De todos los triángulo isósceles cuya base y altura suman 20 cm. ¿qué base tiene el de área máxima?.(10)

9.    De todos los conos inscritos en una esfera de radio 3. calcular el de máximo volumen.

10.           Un recinto está formado por un rectángulo y un semicírculo que tiene por diámetro uno de los lados del rectángulo. El área del recinto es de 5 m2. calcular las dimensiones para que el perímetro sea mínimo. .

11.           Dada una circunferencia de diámetro 1’2 m. Calculara el área del rectángulo máximo inscrito en ella. (0’72 m2)

12.           Calcular la altura que debe de tener un cilindro de revolución inscrito en una esfera que tiene 6 m de diámetro, para que su volumen sea máximo entre todos los inscritos en ella.

13.           Determinar el parámetro a para que el valor mínimo de la función y = x2+2x+a sea igual a 8. ( a = 9 ).

14.           Una piedra preciosa pesa 12 gr. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso, y que su valor es de 145€. Calcular, cuando dicha piedra se divida en dos trozos, el valor de cada uno, si la depreciación es máxima. ( 36€ ).

15.           Una pila eléctrica de resistencia interna r = 0’2W y e = 1 voltio, está unida a un circuito eléctrico de resistencia R. Se desea saber el valor que ha de tener R, para que la potencia P de la corriente suministrada sea máxima. ( 0’2 W).

16.           Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y su suma sea mínima.

17.           Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mínima.

18.           Una pared de 3,2 metros de altura está situada a una distancia de 1,35 metros de una casa. Hallar la longitud de la escalera más corta de manera que apoyándose en el suelo y en la pared llegue a la cima de la casa.

19.           Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de piezas de cartón de 12 pulgadas por 12 pulgadas, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible.

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